Was ist eine Evolvente ?
 
Man stelle eine Rolle Bindfaden fest auf ein Blatt Papier, befestige am losen Fadenende einen Stift und wickle den Faden - straff gespannt - von der Fadenrolle ab. Die Linie, die der Stift auf dem Papier zeichnet, ist die (Kreis-)Evolvente der Fadenrolle.
 
Kann man das auch mathematisch präziser ausdrücken ?
 
Gegeben sei ein beliebiger Punkt A auf dem Kreis k mit dem Mittelpunkt M. Dann lassen sich auf jeder Tangente an den Kreis k mit dem Berührungspunkt P Punkte B[n] (n = 1,2,...) so finden, daß die Summe aus der Länge des Kreisbogens AP und der Strecke PB[n] (bei differenzierbarem Übergang in P) gleich dem n-fachen des Umfanges des Kreises k ist. Der geometrische Ort der Punkte B[n] aller Kreistangenten an k heißt (Kreis-)Evolvente des Kreises k bezüglich des Punktes A.
 
erstes Teilstück einer Kreisevolvente
 
Kreisevolvente
 
Die Parameterdarstellung der Punkte B der Kreisevolvente in Abhängigkeit vom Winkel AMP ( = t) lautet für den Einheitskreis (Mittelpunkt im Nullpunkt, Radius = r = 1, A = (1,0)):
 
B(x,y) = B(t) = B(cos(t)+t*sin(t),sin(t)-t*cos(t))
 
Herleitung der Parameterdarstellung
 

Hat das alles irgendeinen praktischen Sinn ?

 
Die wichtigste Anwendung findet die Evolvente in der technischen Mechanik: In Zahnradgetrieben beschreibt die Evolvente die Abrollkurve der Zahnflanken aufeinander, mit anderen Worten: Die Flanken eines Zahnrad-Zahnes haben die Form von Evolventen.

Auch im Sport spielt die Evolvente eine fast schon alltägliche Rolle: In jedem klassischen Leichtathletik-Stadion werden alle Läufe mit einer Länge über 800 Meter von einer Startlinie gestartet, die jedem Läufer - also auch denjenigen Läufern, die auf der Außenbahn antreten - die gleiche Entfernung zur Innenbahn garantiert.